Ronan, obrigado pela dica, mas depois de muito incomodar o Comercial da Netmake o problema foi solucionado. Mas vou deixar aqui meu relato porque, quem sabe, poderia servir pra mais alguém.
Coincidentemente, desde migração da versão 8 pra 9 eu nunca havia conseguido fazer sequer 1 update. O SC insistia em dizer que eu estava sem conexão com a internet ou o serviço não estava disponível. De repente, do nada começou a gerar esse erro de conexão.
Como meu servidor web é Linux, raramente temos que reiniciá-lo. Mas, ontem eu resolvi fazer isso. Reiniciei e tão logo entrei com login e senha o ambiente já identificou que minha versão precisava ser atualizada. Pois bem, segui os passos e mandei reinicializar. Pra minha surpresa, passadas quase 4 horas do início da atualização e a tela se mantinha congelada como se estivesse no início.
Relatei o fato ao comercial da Netmake e eles me sugeriram fazer uma atualização manual. Executei o procedimento dessa forma e tudo voltou ao normal. No fim das contas o problema não era com o projeto e nem com a conexão, mas sim com a atualização do Scriptcase.